Probabilité de présence  

 

 

 

 

 

 

Soit le point M (x,y,z) à un instant t. 

La probabilité de trouver la particule à l’intérieur d’un petit cube dx,dy,dz centré sur M est :

d3P = ψ *(x,y,z,t). ψ (x,y,z,t). dx.dy.dz

 

ψ * = fonction complexe conjuguée de ψ            (obtenue en changeant i par –i ; i2 = -1)

(si ψ  est une fonction à valeurs réelles :   ψ* . ψ   = ψ2)

ψ*.ψ = est homogène à une probabilité par unité de volume, c’est une :

densité de probabilité de présence de la particule en un point  M à l’instant t : D(M,t).

 

dx.dy.dz = élément de volume  =  d3τ (M)

(l’exposant 3 indique que les éléments différentiels d3P et d3τ sont du 3ème ordre puisqu’ils contiennent le produit de trois éléments différentiels dx.dy.dz) 

La probabilité P(τ) de trouver la particule dans un volume τ :

P(τ,t) = òτ D(M,t). d3 τ (M)

P(τ,t) = òτ ψ *(M,t). ψ ( M,t). d3 τ (M)

La probabilité de trouver la particule dans l’univers est égale à 1, quel que soit l’instant considéré :  

                                                                        òtout espaceψ *. ψ . d3 τ  = 1            (condition de normalisation ou de normation) 

                                    .

= Interprétation probabiliste de la position de la particule en un point, contrairement à l’interprétation classique qui donne la position exacte de la particule à un instant donné.

 

 

ψ (x,y,z,t)= ψ (x,y,z) . exp(i.E.t.h/2π)          ψ* (x,y,z,t)= ψ* (x,y,z) . exp(-i.E.t.h/2π)                D(M,t) = ψ *(M). ψ(M).1

D(M,t) ne dépend que du point considéré et pas du temps. La densité de probabilité de présence est donc une grandeur d’un état stationnaire.